面白い未解決の図形問題を淡々と紹介してく

まずはMeissner’s conjecturehttps://i.imgur.com/FblKT4y.jpeg
この図のように、二つの板で挟んだときの幅が常に一定の図形を「定幅図形」と言うんだが

幅が1の2次元定幅図形の中で面積が最小のものはルーローの三角形であることがもう既に証明されている

しかし幅が1の3次元定幅図形の中で体積が最小のものは未解決

今のところ以下のMeissnerの四面体と呼ばれる特殊な図形が最小でおそらくこれが最適解なんではないかと予想されている
https://i.imgur.com/TQ6p3el.jpeg

次は多面体の等周問題Nを自然数として与えて、
「表面積1のN面体の中で体積が最大なものはなにか？」
という問題

驚くべきことにこれだけシンプルな問題でもN=8についてですら解決していない

ちなみに正八面体は正解ではなく、より体積が大きい以下の八面体(ゴールドバーグの多面体)が見つかっていて
これが最適解ではないかと予想されている
https://i.imgur.com/QG0isfq.jpeg

次はケルヴィン問題「空間を等しい体積の図形に分割するとき、境界面積を最小にするにはどうすればいいか」
という問題

この問題を提起したケルヴィン卿は、ケルヴィン構造と呼ばれる切頂八面体が答えでないかと予想したが、問題が提起された約100年後にさらに小さい解である以下のウィア＝フェラン構造が見つかる
https://i.imgur.com/H9IdgRY.png

この図形達は複雑な構造をしていて、辺と面がわずかに曲率を持っている
現在はこれが最適解ではないかと予想されているが未解決