円周率π=22/7だった！！

{\displaystyle \sin 11=-0.99999020655\dots }{\displaystyle \sin 11=-0.99999020655\dots }
が整数に近い[2]。その理由は、半角の公式

{\displaystyle \sin ^{2}11={\frac {1}{2}}(1-\cos 22)}{\displaystyle \sin ^{2}11={\frac {1}{2}}(1-\cos 22)}
および、
22
/
7
が π の近似分数であるために cos 22 が cos 7π = −1 に近いことによる、と説明できる。なお、リンデマンの定理より、この数は超越数である。こういった数によく使われる円周率の近似としては、他に 3 + 0.1×√2 = 3.141421356… や 355÷113 = 3.1415929203539825… などがある[3]。

一方、なぜ整数に近いのか、合理的な理由が与えられていないものもある。ゲルフォントの定数と円周率との差

{\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.999099979\dots }{\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.999099979\dots }
がほとんど整数であることは、1988年頃にニール・スローン、ジョン・ホートン・コンウェイ、サイモン・プラウフによって相次いで指摘されたが、その理由は長らく知られていなかった[1]。

しかし、2023年9月にA. Domanによって、この一見不思議な一致の説明が与えられた。それは、ヤコビのテータ関数に関連する以下の無限和の結果である。{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}この和では、第1項が支配的であり、{\displaystyle k\geq 2}{\displaystyle k\geq 2}の項の和は合計で{\displaystyle \sim 0.0003436}{\displaystyle \sim 0.0003436}程度である。そのため、この和は次のように近似できる。 {\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}{\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,} ここで、{\displaystyle e^{\pi }}{\displaystyle e^{\pi }}について解くと、{\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}{\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}となる。 {\displaystyle e^{\pi }}{\displaystyle e^{\pi }}の近似式を書き換え、{\displaystyle 7\pi \approx 22}{\displaystyle 7\pi \approx 22}の近似を用いると、

{\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}{\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}
となる。したがって、項を並び替えると、{\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20}{\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20}が得られる。皮肉なことに、{\displaystyle 7\pi }{\displaystyle 7\pi }の大雑把な近似を用いることで、さらに1桁の精度が上がっている[1]。

なお、π + 20 が eπ に近いため、

{\displaystyle \cos\{\log(\pi +20)\}=-0.99999999924368\dots }{\displaystyle \cos\{\log(\pi +20)\}=-0.99999999924368\dots }
という変形も与えられる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%BB%E3%81%A8%E3%82%93%E3%81%A9%E6%95%B4%E6%95%B0